文/老余

数学，是好多东说念主的恶梦。

之是以会这样，并不是你比别东说念主差，最根底的原因是当代解说体系是后工业期间的家具，它的想法不是为了学生便捷学习，而是为了便捷学校不断、便捷老诚交差，便捷把一茬又一茬的学生批量的、圭臬化的送到“下一站”：

小学生圭臬化地送到初中，初中经过凶恶的征战主任的“修枝剪叶”，圭臬化地送到高中，高中经过地狱般的强化锤真金不怕火送到大学，大学临了圭臬化的送到社会。

——而社会对东说念主的要求却不是圭臬化的，然后即是毫无不测的要接纳社会的毒打。

回头看，在这条活水线里，学校教的不是数学，而是数学题型。你在这其中能判辨若干数学真的的妙处，完全看你我方的造化，莫得东说念主会和顺，包括父母、以致咱们我方在内，和顺的仅仅你能作念对若干题型。咱们以致皆健忘了：

——常识之是以会存在，是因为前东说念主遭逢了真实问题的追想。这些常识，是前东说念主解开现实问题的索求出来的钥匙。

那贝叶斯公式，是为了治理什么问题？

惟有显豁了这少许，咱们才调真的清醒贝叶斯想想，而这之后，那些让东说念主头大的数学记号才不至于那么综合，才会在大脑里水灵起来，由此公式的推导及如何用之来治理咱们自己的问题，将是水到渠成之事。

本篇，就试图把贝叶斯想想及数学公式的一脉疏通给你讲显豁。

（一）贝叶斯是要治理什么实践问题？在贝叶斯出现之前，经典的科学体式是“非黑即白”的。什么是科学？有点科学训诫的一又友皆知说念这个历程：

提议一个表面假定；考证假定；如果实验或者不雅测实现合适表面假定，这个表面就暂时立住了，如果不合适，表面坐窝被证伪。所有这个词这个词科学大厦即是这样修复起来的，你说两个铁球同期落地，那咱们就作念实验，确乎是同期落地，那伽利略的假定即是对的，它不以任何东说念主的相识为漂泊；你韩国东说念主说发现了超导体，巨匠复刻你的实验却得不出相同的实现，那你的表面就立马收歇。

——科学的宇宙，即是这样非黑即白，对即是对，错即是错，对了咱们就沿用，错了就彻底舍弃，莫得中间地带可言。

而贝叶斯合计，现实宇宙并不是这样的，天然科学是为出奇出十足的说念理，了解十足真实的宇宙，但也许十足真实的宇宙根底不可知。

你看在爱因斯坦之前，咱们信赖寰宇万物皆是按照牛顿的经典力学在畅通着，但爱因斯坦说并不是这样的，高速畅通的物体并不合适牛顿力学，经过考证爱因斯坦是对的，于是咱们用相对论取代了经典力学，于是相对论的解释边界更大；其后量子力学出现，说相对论并弗成解释微不雅粒子的畅通，于是咱们知说念相对论也仅仅”局部“说念理。

于今，也莫得东说念主能把相对论和量子力学用更高维度的表面合伙起来。但谁又能保证，哪个天才即使作念到了这少许，咱们就能笃信阿谁表面即是终极说念理了吗？

也弗成！

——大约东说念主类能作念到的，只可无穷接近十足真实的宇宙，而弗成真的到达阿谁终极。

既然科学是动态接近真实，那当一个新字据的出现，天然并弗成平直阐明或者证伪一个表面，但这些新字据至少不错让咱们调遣对一个表面的真的度大小。

这即是贝叶斯的想想。

——贝叶斯把科学有蓄意从非黑即白，变为了黑-灰-白。

在贝叶斯之前，科学界对一个表面的作风，用东说念主话来讲：要么是「十足的信任」，要么是「十足的不信」，酿成数学谈话默示就惟有两种：

P（假定的概率）=1（十足地信）P（假定的概率）=0（十足不信）但有了贝叶斯想想，就会酿成这样：

P（假定的概率）=1（十足地信）......P（假定的概率）=80%（很信赖）......P（假定的概率）=20%（有一丢丢信）P（假定的概率）=0（十足不信）以上信任进程之是以会发生变化，是因为你掌捏的字据发生了变化，是以贝叶斯想想的其中枢，就少许：

——不雅点，要随事实的改动而改动。

有了新的“字据”，咱们天然要更新概率值，这有点像福尔摩斯破案，跟着掌捏张三犯警字据越来越多，你怀疑张三是杀东说念主真凶的概率就越来越大。

以上是贝叶斯的中枢想想，如果没勇气看底下的数学部分，其实也很好，因为你依然收货了少许点玄学。

（二）贝叶斯想想的数学抒发，其实很浅易数学定理只不外是数学想想的记号抒发，只须鄙俗知说念少许点数学主张，其实就能显豁贝叶斯的数学抒发式。

前边说了，贝叶斯的中枢想想是「不雅点，要跟着新字据的发下而更新」，酿成数学里的谈话即是：这件事发生的概率，是有条款的，跟着条款的变化，那件事发生的概率就会随之变化。这即是：

——条款概率。数学抒发即是P（假定|字据），也即是P（A|B），说念理是“在B事件发生的前提下，A事件发生的概率”。

那条款概率和贝叶斯公式有什么揣度？你看是不是这个意旨，为了狡计P（A|B），其实咱们不错从两方面来想考这个问题：

一方面是从“事件B”开拔，先看B发生的概率有多大，也即是P（B），再看在B发生的前提下，A也发生的概率有多大，也即是P（A|B)，那么A、B皆发生的概率，用数学抒发即是P（A|B)×P（B）；另一方面，咱们从“事件A”开拔，先看A发生的概率有多大，也即是P（A），再看在A发生的前提下，B也发生的概率有多大，也即是P（B|A)，那么A、B皆发生的概率，用数学抒发即是P（B|A)×P（A）。你看临了的落脚点，皆是A、B皆发生的概率，是以两者的数学抒发必定特别，即：

P（A|B)×P（B）=P（B|A)×P（A）

咱们把P（B）移项到右边，即可得贝叶斯公式：

之是以要这样搞，是因为在现实中时常右边的各项皆容易得到，而左边的P（A|B)是个逆概率，只可蜿蜒得出论断。

这就像一个孩子用石头砸向玻璃，你很容易忖度玻璃被打碎的概率，但你当今只看到了玻璃是破的，而要知说念它是若何破的，就相等贫瘠了。

而这，恰是贝叶斯要治理的问题。

举个例子，你就更显豁了：

当今有一位40多岁的女性去作念乳腺癌筛查，搜检实现是阳性，求教，这位女性真的得了乳腺癌的概率有多大？

如果咱们不了解贝叶斯想想，且对所谓的泰斗还有所珍爱，那咱们对这个会诊实现会相等相等悲不雅。

但咱们用贝叶斯公式略略狡计一下，就会知说念「假阳」的可能性相等大。狡计如下：

事件A：她得了乳腺癌；事件B：检测实现呈阳性。咱们要算的即是P（A|B)。

根据贝叶斯公式，咱们要狡计P（A)、P（B|A)、P（B）：

P（A)：指的是这个年岁段女性得乳腺癌的广大概率，根据宇宙卫生组织的数据，是1/700；P（B|A)：指的是一个女性真的得了乳腺癌，检测实现为阳性的可能性，这个处所由仪器的精确度决定的，为73%（不咋地）；P（B）：指的是随即拉一个女性，给她作念检测为阳性的可能性有多大，这莫得平直数据，但咱们有不错把东说念主群分为得了P(A)和未得P(A)两种情况。前边说了，这个年岁段得乳腺癌的概率为1/700，那这个年岁段未得乳腺癌的概率P(A)=1-P(A)=699/700，未得误诊为阳性的概率为12%。于是P（B）=P（B|A)×P（A)+P（B|A)×P（A)=12.1%。把以上数字代入贝叶斯公式，得出P（A|B)=0.86%。也即是说，哪怕这位40多的女性检测为阳性，其实践患乳腺癌的概率也惟有这样点。

这与咱们的直观大相径庭。

但这其实也很好清醒，这位女性的患病概率是在1/700的广大概率之下的，还有仪器的不精确性在这里摆着，临了不到1%的概率也就很好清醒了。但淌若这位女性像朱莉一样，有患癌的遗传基因，那咱们一运行选的P(A)就不是1/700了，而是更大的一个数，临了的实现也就约束乐不雅了。

而这，恰是不雅点要随事实的变化而随时改造。

（三）结语天然这个表面在各个限制依然有了多数的诈欺，并得回了很好的遵守（如贝叶斯集中），但真话实说，每个东说念主的境遇和想法皆不一样，即使面临归拢个事实，得出的论断也会大相径庭，也即是领先的P（A）会因东说念主而异，是以贝叶斯体式的实践并不是客不雅的。

这亦然好多传统的统计学家诟病贝叶斯的根底原因，东说念主们总合计科学就应该是完全客不雅的才是对的。

但在东说念主类的宇宙里，真的有完全客不雅存在吗？

咱们看到的红橙黄绿蓝靛紫，只不外是白光的各个波段辛勤。当今有脑科学家正在怀疑，即使是咱们为之自负的目田相识，也可能仅仅一个幻觉。

是以，咱们不要那么执拗的去争辩什么客不雅主不雅，对一个事物不要再说什么矍铄不移的信赖，也不要听风即是雨的一股脑接受，咱们要作念的即是保持盛开，多了一个新字据，咱们就多一份相应的信赖，用一个量化过的数值来决定我方的判断。

“80%的信赖”这样的话，天然看起来很怪，但你离科学有蓄意又近了一步。

（完）